Birçok atom altı ölçeğindeki parçacıklar gibi, elektronun hangi koşul-larda parçacık ya da dalga gibi davrandığı, araştırılma konusu olmaya devam etmektedir. Atom altı ölçeğinde böyle bir nesnenin davranışını betimleyen önermelerin, belirli bir form içerisinde düzenlenmesi ve aralarındaki bağıntıların tutarlı bir şekilde inşa edilmesi için uygun bir mantığa ihtiyaç duyulmuştur. Kuantum mekaniğinin bir yorumu sayı-labilecek kuantum mantığı, böyle bir gereksinimle ortaya çıkmıştır. Klasik mekanikteki bir sistemin durum ve özellikleri Boole cebirine da-yanan klasik mantığın önermeleri ile betimlenmektedir. Kuantum me-kaniğinde ise ölçülen büyüklükleri temsil eden operatörlerin komüte etmemesi, kuantum olgularının klasik mantığın önermeleri ile betim-lenemeyeceğini göstermiştir. Kuantum olgularını betimleyen önerme-lere uygun bir formalizasyon zemini gerekmektedir. Araştırmamızda klasik mantık ile kuantum mantığı arasındaki çeşitli farklılıklara dik-kat çekilerek, dağılımsallık (distributivity) özelliği incelenmekte ve ku-antum mantığının hangi cebirsel yapıya uygun olabileceği Birkhoff ve von Neumann açısından ele alınmaktadır. Araştırmamızda, herhangi bir deneysel önermeye mantıksal olarak eşdeğer olan tüm deneysel önermelerin fiziksel bir nitelik olduğunu iddia edebilmek için, ölçülen büyüklüklere karşılık gelen operatörlerin birbirleriyle yer değiştirebil-mesi (komüte etmesi) gerektiğini tespit ettik. Boole cebiri, klasik man-tığı formelleştirmeye imkân veren bir cebirsel yapıya sahiptir. Böyle bir cebirde, dağılımsallık özelliği sağlanmaktadır; böylece klasik man-tık için dağılımsallık özelliği sorun teşkil etmemektedir. Sonuç olarak dağılımsallık özelliğinin kuantum mantığında her zaman geçerli olma-dığını; kuantum sistemlerinin Hilbert uzayının kapalı alt uzaylarıyla ilişkili ortomodüler kafesler sayesinde modelize edilebileceğini tespit etmiş bulunuyoruz. Kanaatimiz, söz konusu modelin yeni kuantum ol-gularının keşfiyle birlikte gelişmesi gerektiği ve bu gelişime elverişli bir zemin oluşturduğu yönündedir.
Quantum Logic
Distributivity And The Algebraic Structure Of Propositions
As with many subatomic particles, the question of under what conditions
the electron behaves as a particle or as a wave continues to be the
subject of research. It was necessary to employ appropriate logic to organise
the propositions describing the behaviour of such an object at
the subatomic scale into a precise from and to establish coherent relationships
between them. Quantum logic, which can be regarded as an
interpretation of quantum mechanics, arose from this need. In classical
mechanics, the state and properties of a system are described using
the propositions of classical logic, which is based on Boolean algebra.
In quantum mechanics, however, the fact that the operators representing
the measured quantities do not commute has shown that quantum
phenomena cannot be described using the propositions of classical logic.
It is therefore necessary to have a formal framework suited to the
propositions describing quantum phenomena. In our study, we highlight
the various differences between classical logic and quantum logic,
examine the distributive property and discuss, from the perspective of
Birkhoff and von Neumann, the algebraic structure to which quantum
logic might correspond. At the conclusion of our research, we find that,
in order to assert that all experimental propositions logically equivalent
to a given experimental proposition constitute a physical property,
the operators corresponding to the measured quantities must commute
with one another. Boolean algebra has an algebraic structure that
allows classical logic to be formalised. In such algebra, the distributive
property holds; thus, distributivity does not pose a problem for classical
logic. Consequently, the distributive property does not always hold
in quantum logic and quantum systems can be modelled using orthomodular
lattices associated with closed subspaces of Hilbert space. We
believe that this model must evolve in parallel with the discovery of
new quantum phenomena and that it provides a framework conductive
to this evolution.
Keywords: Quantum logic; distributivity; partially order sets (posets);
lattice; orthomodular lattice; Hilbert space; Boolean algebra.
İÇ SAYFALAR
